ECUACIÓN DE UNA RECTA.

 Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una única dirección.

Uno de los postulados de la geometría Euclidiana dice "para determinar una recta solo es necesario dos puntos del plano.

 

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

 

Ecuación principal de una recta.

 

 

 Se llama ecuación principal de una recta a una expresión de forma:

Y= mx +n

En que m representa la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición y es el número en que la recta corta al eje de las coordenadas.

 

Comentario!

Hasta ahora se ha trabajado con la ecuación lineal en dos variables buscando algunas de sus soluciones, trazando su gráfica, buscando los interceptos, buscando la pendiente.

Cabe preguntarse por el proceso inverso: si me dan las soluciones, si me dan la gráfica, si me dan los interceptos, si me dan la pendiente; ¿ se podrá conseguir la ecuación lineal ?

Esto significa que se te dará información para tu conseguir la ecuación y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas.

 

EJEMPLO 1 - Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usa la información que te dan:

m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x + 10.

 

EJEMPLO 2 - Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.

Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usa la información que te dan: m = - 5 y sustituye en la ecuación:

y = - 5x + b

Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b

Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b

2 = - 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituye el valor de b en la ecuación que estas buscando: y = - 5x + 7

La ecuación es y = - 5x + 7.

Debes conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas .

Ejemplo:

Si una recta tiene pendiente m = - 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = - 3.

Si una recta tiene pendiente m = - 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente .

 

Sí en una ecuación de esta forma: ax + by + c = 0, damos valores a x e y que cumplan la ecuación, y representamos estos puntos en una gráfica, veremos que la gráfica es una recta.

Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en: y = mx + n, m representa la pendiente de la recta (la pendiente es el cociente entre lo que sube o baja entre dos puntos de la recta y la distancia horizontal entre ellos, dicho matemáticamente es la tangente del ángulo que forma la recta con otra recta horizontal) y n es el punto del eje y por donde pasa la recta.

Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Es muy frecuente encontrar fórmulas para hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Tengo una buena noticia para los que tienen mala memoria: NO SON NECESARIAS.

Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1,3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y nos quedaría: 3 = 2·1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1.

Como se ve es muy fácil. A algunos profesores también les parece muy fácil y para hacerlo más difícil en vez de decir la pendiente dicen el ángulo que forma la recta con el eje x o con la horizontal. Es igual de fácil, la pendiente es la tangente de ese ángulo. Otros profesores (que pretenden que nos equivoquemos, ya saben que hay profesores de todo tipo) dicen el ángulo que forma la recta con el eje 'y' o con la vertical, en este caso el ángulo que tenemos que utilizar es el complementario (90 - ángulo).

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,3) y (2,5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m·1 + n, 5 = m·2 + n.

 

PLANO CARTESIANO

 

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las x y uno de las y, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y) n. Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.   2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

 Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

 

 

 

 Ejes : son líneas de referencia para hacer gráficos. Generalmente, uno de los ejes es una línea horizontal llamado eje de abscisa y la otra una línea vertical llamado eje de ordenadas. Los ejes horizontales y verticales son perpendiculares el uno al otro.

Eje de la Ordenadas: es la línea numerada que se usa para registrar o leer los valores y de puntos de un gráfico. El eje de ordenadas es usualmente el eje vertical.

Eje de las abscisas: es la línea numerada que se usa para registrar o leer el valor de x de puntos en un gráfico. El eje de la abscisa es usualmente el eje horizontal.

Perpendicularidad

Saber si dos rectas son perpendiculares es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.

Ángulo de dos rectas que se cortan

La forma más fácil es calcular los ángulos que forman cada una de las rectas con el eje x (esto es muy fácil: sólo tenemos que ver la pendiente de la recta y recordar que la pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y restarlos.

Distancia de un punto a una recta

Los malos profesores te hacen estudiar fórmulas, los buenos te enseñan a razonar.

Seguramente tendrás una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. No la necesitas si sabes pensar:

La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta perpendicular a la anterior y que pase por el punto (lógicamente).

Como nos darán la ecuación de la recta, sabremos la pendiente de la recta (sea m esta pendiente), entonces la pendiente de las rectas perpendiculares a esta tendrán pendiente -1/m. Como además esa recta tiene que pasar por el punto que nos dicen, nos será muy fácil calcular la ecuación de esa recta.

Ya tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas. Si resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas, obtendremos el punto en el que se cortan las rectas.

Ya tenemos entonces las coordenadas de dos puntos (uno el punto original y otro sobre la recta, este punto es el mas cercano al primero), y entonces si hacemos un dibujo de los dos puntos y ponemos las coordenadas de los puntos sabremos calcular la distancia.

Nombres de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta.

Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las modificaciones oportunas, la ponemos en esta forma: y = mx + n. Esta forma se llama forma explícita. En este caso m es la pendiente de la recta.

Si la ponemos en esta forma: y - y0 = m(x - x0), decimos que está en forma punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la recta y x0, y0 las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.

Si la ponemos en esta forma: x/a + y/b = 1 decimos que está en la forma canónica o sementaría. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje X y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje Y.

 

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